1. Множества.
2. Способы задания множеств. Равные множества.
3. Подмножества. Диаграммы Эйлера-Венна.
4. Пересечение множеств.
5. Объединение множеств.
6. Дополнение к множеству. Свойства. Разность множеств.
7. Кортеж. Декартово произведение множеств.
8. Комбинаторика. Правило суммы.
9. Комбинаторика. Правило произведения.
10. Размещения с повторениями. Размещения без повторений.
11. Упорядоченные множества.
12. Сочетания без повторений.
13. Соответствия. Отношения на множестве. Свойства. Отображения. Функции. Разбиение множества на классы.
14. Логика высказываний. Предикаты, операции, свойства операций.
15. Отображения, функции.
16. События и их классификация.
17. Классическое определение вероятности. Статистическое понятие вероятности.
18. Теорема сложения вероятностей.
19. Теорема умножения вероятностей.
20. Повторные независимые испытания.
21. Случайная величина и её числовые характеристики.
22. Законы распределения случайных величин.
Определение. Размещением без повторений из n элементов по k элементов называется всякое упорядоченное k-подмножество данного n-множества.
Количество размещений без повторений из n элементов по k элементов обозначается Ank
Теорема 2. Количество размещений без повторений из n элементов по k элементов определяется по формулам:
Ank=n n-1 n-2…. n-k+1 (21)
или Ank n!/(n-k!)! (22)
Доказательство. Первый элемент упорядоченного k-подмножества данного n-множества можно выбрать n способами;
2-й элемент (после выбора 1-го, напомним: повторение элементов не допускается) можно выбрать (n – 1) способом;
3-й элемент — (n – 2) способами;
4-й элемент — (n – 3) способами;
k-й элемент — (n – (k – 1)) = (n – k + 1) способами.
По правилу произведения количество всех способов, т.е. размещений без повторений, можно вычислить по формуле Ank=n n-1 n-2 n-k+1. Таким образом, получена формула (21).
Преобразуем формулу (21). Умножим и разделим полученное произведение для нахождения количества размещений на одно и то же выражение:
Аkn= n n-1 n-2… n- k+1= (n n-1 n-2….n-k+1 n-k n-k-1…2•1 )/(n-k n-k-1…2•1) = (n !)/(n-k!)
Получили формулу (22). Теорема доказана.
Пример 7. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг с тремя горизонтальными полосами одной и той же ширины, если есть материя пяти различных цветов?
Решение. Поменяв порядок цветов, мы получим новый флаг, т.е. порядок элементов играет роль. Значит, речь идет о размещениях из 5 элементов по 3 элемента:
А35= (5! )/(5-3)! = (1•2•3•4•5)/(1•2) =3•4•5=60
Собственная разработка
