Задача 4.6.
Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра.
Доказательство.
Ясно, что AB+BC>AC, BC+CD>BD, CD+DE>CE, DE+EA>DA, EA+AB>EB. Складывая все эти неравенства, получаем, что сумма длин диагоналей пятиугольника меньше удвоенного периметра.
Задача 4.7.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Доказательство.
В равнобедренной трапеции ABCD диагонали AC и BD равны. Поэтому BM + (AM + CM) ≥ BM + AC = BM + BD ≥ DM.
1. https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/contents.htm
2. Неравенства, Методы доказательства, Седракян Н.М., Авоян А.М., 2002
3. Василевский А.Б. Методы решения задач. — Минск: Высшая школа, 1974.
4. Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее приложения / Пер. с англ. — М.: Мир, 1983.
5. Коропец, З. Л. Математика [Текст]: учеб. пособие: в 4 ч. / З. Л. Коропец, А. А. Коропец, Т. А. Алексеева. - Орел: ОрелГТУ. - Ч.1. Уравнения. - 2005. – 75 с.; Ч. 2. Неравенства. - 2002. – 78 с.
6. Коропец, З. Л. Иррациональные неравенства: методическое пособие. [Текст] / З. Л. Коропец, А. А. Коропец, Т. А. Алексеева. - Орел: ОрелГТУ, 2008.- 18 с.
7. Коропец, З. Л. Математика. Практикум для подготовки к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) [Текст]: практикум для вузов. /З. Л. Коропец, А. А. Коропец, Т. А. Алексеева. - Орел: ОрелГТУ, 2010. - 93 с.
8. Куланин, Е. Д. 3000 конкурсных задач по математике. 4-е ихд., испр. и доп. : учеб. пособие / Е.Д. Куланин. – М.: Рольф, 2000. – 624с.
9. Мельников, И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах [Текст] / И. И. Мельников, И. Н. Сергеев. - М.:Издательство Московского университета, 1990. - 303с.
10. Олехник, С. Н., Потапов, М. К., Пасиченко, П. И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения [Текст]: справочник. М.: Дрофа, 2002. – 219 с.
11. Шунда, Н. Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств [Текст] / Н. Н. Шунда // Математика в школе. – 1970. №3. – С. 61-64.
12. Коровкин П.П. Неравенства. - М., «Наука»,1974.
13. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М., «Наука», 1967.
14. .Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. – М., «Просвещение»,1990.
15. Галицкий М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М., «Просвещение», 1986.
