Кватернионы и их приложения

Кватернионы были введены в математику В.Р. Гамильтоном в 1843 году и представляют собой обобщение аппарата комплексных чисел на четырехмерное пространство. Под кватернионом понимают математический объект, составленный из одной действительной единицы и трех мнимых, для которых постулируются 16-ть правил умножения, причем любая из трех мнимых единиц является результатом векторного умножения двух остальных.
Применение кватернионов для описания линейного преобразования типа вращения относительно фиксированной точки, которое широко используется при анализе электромагнитных процессов в электромеханических преобразователях энергии переменного тока, имеет ряд пре­имуществ по сравнению с другими кинематическими параметрами. Гак, например, уравнения движения в кватернионах не вырождаются, пик это имеет место при использовании углов Эйлера, не содержат тригонометрических функций, существенно усложняющих вычислительные процедуры, число этих уравнений существенно меньше, чем число уравнений в направляющих косинусах (четыре против девяти) и т.д. Данный факт объясняется тем, что мнимые единицы одновременно выступают в качестве базисных орт реального трехмерного пространства и операторов преобразования. По этой причине в настоящее время кватернионы нашли широкое применение во многих областях науки и промышленности, начиная от теоретических задач квантовой физики и заканчивая программированием 3D график и и алгоритмов управления искусственными спутниками.
Традиционный подход к анализу процессов в машинах переменного тока сводится к рассмотрению моделей в обобщенном синхронно- вращающемся двумерном базисе, с соблюдением условия симметрии между электромагнитными переменными, и основывается на матрице поворота координатных осей или, иначе, соответствующим ей линейным оператором. С применением кватернионов, без существенного усложнения расчетов, можно перейти к рассмотрению электромеханических систем с несимметричными режимами работы в трехмерном пространстве и более полно учесть в модели различные особенности преобразования энергии.
В настоящее время разработана математическая модель трехфазного асинхронного двигателя с применением кватернионов в комплексном двумерном пространстве и представлении мнимых единиц с помощью спиновых матриц Паули. Дальнейшим этапом проводимых научных исследований является моделирование процессов электромеханического преобразования энергии с помощью программного продукта «MatLab» в кватернионном базисе, что позволит снизить количество вычислительных операция и требования к аппаратным средствам за счет более упрощенного описания конечных поворотов (преобразования систем координат).
В ходе курсовой работы были разобраны вопросы определения кватернионов, их связь с операциями над векторами, разобраны понятия умножения, сопряжения, модуль, тождество четырех кватернионов:Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:

1. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры /А.Г Курош. -М.: Наука, 1975. 302 c.
2. Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре / Д.К.Фадеев. – М.: Наука, 1984. 416 с.
3. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И.Мальцев. – М.: Наука, 1970. 392 с.
4. Фу, К. Робототехника / К.Фу. – М.: Мир, 1989. 622 с.
5. Динамика управления роботами / под ред. Е. И. Юревича. – М.: Наука, 1984.
6. Бранец, В. Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В. Н. Бранец, И. П. Шмыглевский. – М.: Наука, 1973.
7. Стрелкова, Н. А. Кинематическое управление винтовым перемещением КА / Н. А. Стрелкова// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: сб. науч. тр. – Пермь,1983. – С. 132–139.
8. Стрелкова, Н. А. Оптимальное по быстродействию кинематическое управление винтовым перемещением твердого тела /Н. А. Стрелкова //Известия АН СССР. Механика твердого тела. – 1982. – №4. – С. 73-76.
9. Болотов, В.П. 4-D геометрия – реализация в системе «Вектор» и скриптах / В.П.Болотова, Ю.И.Роньшин. – МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2010. 228 с.
10. Арнольд, В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. — М.: МЦНМО, 2002. — 40 с.
11. Богданов, В.И. Вычислитель для распознавания оптических изобретений /В.П.Болотов, C.И.Маренников // Сборник трудов 1Х Международной Вавиловской конференции, Новосибирск 1997.
12. Богданов, В.И. Спутниковый бортовой категоризатор состояния Мирового океана / В.И.Богданов, В.П. Болотов // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Спутниковые системы связи и навигации», Красноярск, 1997.
13. Болотов, В.П. Применение методов начертательной геометрии многомерного пространства к вопросам конструирования поверхностей / В.П.Болотов, П.В.Филиппов -Сб. Геометрия САПР. МГУ, Владивосток, 2005. С. 4-7.
14. Болотов,В.П. Геометрия САПР / В.П.Болотов. – МГУ им. адм. Г.И.Невельского, Владивосток, 2005. 368 с.